応募者の身辺調査は、法的に問題ありませんか？

法律では、採用時の身辺調査を禁止していません。
ただし、厚生労働省では、公正な採用選考を行うため採用選考時に配慮すべき事項として以下を挙げています。

・身元調査などの実施
・本籍・出生地、家族、住宅状況、生活環境・家庭環境
・宗教、支持政党、人生観・生活信条、尊敬する人物、思想、
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身元調査という行為そのものが違法ではないとしても、その情報取得方法に違法性があれば、当然問題になります。

前職の会社が本人の承諾なしに情報を提供した場合、提供方法や情報の内容によっては、名誉棄損・プライバシー侵害・個人情報保護の点から非常に問題になる可能性もある事から、最近は多くの企業で情報提供を拒むケースが多くなっています。そのため、前職の退職理由を確認する方法としては、本人を通じて、前職に「退職証明書」を発行してもらう形がよいと考えます。

「退職証明書」は本人から請求する退職事由を明示し、会社側が退職した事を証明する書類となります。退職理由は「自己都合」「会社都合」といった表現に留まるとは思いますが、自己都合であれば少なくとも解雇でないことは確認できるでしょう。