社員の退職後に発覚した問題の責任を問うことはできますか？

まず、業務の管理責任は会社にありますので、退職された社員の方が、故意に不具合をつくったようなケース以外では、退職者に責任を問うことはできません。

また、退職については、労働者からの労働契約の解約(退職)については民法第627条第1項が適用になります。これによると、「期間の定めのない労働契約については、各当事者はいつでも解約の申し入れをすることができ、解約の申し入れから2週間を経過することによって終了する。」と規定されています。ですので、就業規則に別の定め（特約）がない限り、2週間をもって退職となります。

退職に際し、「会社の承認」を要件とするような定め（特約）も、合理的な理由があればただちに違法とはならないと解されますが、不当に長期間身分を拘束する場合には、「公序良俗」（民法第90条）に反することとなりますので、ご注意ください。

貴社の就業規則に、なんら定めが設けられてない場合は、退職時期の延長についてご本人と誠意を持って話し合うほかないかと思います。